Une balade philosophique 00.

Point après point, on se rapproche encore et encore, ou l’on pense s’en rapprocher de cette limite. Mais entre deux points distincts, je peux encore placer une infinité de points. Je continue, j’y crois et mon esprit se fatigue. Reproduisant le mythe de Sisyphe, ma pensée tente de représenter la continuité. Mais avant de parler de la continuité, parlons d’autre chose. Les courbes, objet mathématique singulier, se meuvent dans l’espace. Cet espace peut-être à une dimension ou à n dimensions, l’on peut même aller dans des dimensions infinies. Choisissons un espace à deux dimensions, dans cet univers se promène une courbe que nous représentons par un trait. Si le trait est tracé sans lever le crayon nous disons que cette courbe est continue, sinon elle est discontinue au point de coupe.

Laissons notre sens nous tromper, imprégnons-nous de cette courbe du trait, visualisons ce trait au crayon de papier traversant l’espace en question. Et voilà que notre divine forme s’est mise à avoir une épaisseur, épaisseur qui n’est qu’une tromperie, une supercherie, une vulgaire tricherie de notre esprit pour simuler un semblant de courbe. Dans sa définition la plus pure, une courbe n’a aucune épaisseur. En effet, si elle en possédait une, elle ne serait plus une courbe, mais une surface. La visualisation de la courbe est impossible pour le commun des mortels, il nous faudrait une intelligence infinie pour pouvoir sentir la courbe.


Les nombres entiers sont assez faciles à comprendre, leur construction est simple. Prenons zéros, et ajoutons lui un. Puis, notre résultat est égal à un, rajoutons-lui encore un, et ainsi de suite nous construisons les nombres entiers par récurrence. Bien entendu, au préalable il faut définir l’addition d’une unité. Maintenant que l’on voit ce que représente les entiers naturels, prenons un intervalle sur ces entiers, de telle sorte à avoir les bornes non identiques. Pour tout entier pris, on pourra compter un nombre fini d’entiers dans cet intervalle.

Intéressons-nous, maintenant, au nombre réel. Il est beaucoup plus difficile de construire les nombres réels, car sur l’intervalle zéro un, il existe une infinité de ce type de nombre. Il existe comme une densité pour les intervalles. On a cette impression que les infinis ne se valent pas. Pour la construction nous prenons une suite de Cauchy, donc une suite convergente, et l’on l’a fait converger vers un a qui appartient à un corps K. Mais passons les détails de la construction, ce qui nous intrigue et la sorte de continuité que nous avons créée. Car aussi petit que soit l’intervalle (à condition que les bornes ne soient pas égales), il existe une infinité de nombres réels. On vient de doter notre espace d’une sorte de continuité, il n’existe aucun trou non défini entre deux nombres.


Est-ce que cette continuité s’impose à nous ou est-ce qu’elle est création de notre esprit?

Dans un premier temps, on constate que non. En sciences un des principes est d’aller dans les extrêmes. L’astronome étudie les étoiles et il lui aura fallu aller aux confins de l’univers pour comprendre les astres qui l’entourent. Une étoile étant juste un point singulier. Le chimiste étudie l’intégration entre les éléments, le biologiste les cellules, le physicien la matière. Nos instruments de mesure ne captent pas le continu, mais pourquoi l’utilisons-nous ? Car les scientifiques ont besoin de la mathématique. Quand le physicien calcule une vitesse, il calcule une dérivée, or une courbe dérivable est une courbe continue, car la définition de limite en un point est la définition de la continuité. Grâce à la mathématique, on peut représenter le monde qui nous entoure, cependant nous devons y laisser un peu de rigueur. Dans la nature, nous observons de temps en temps la continuité, l’exemple le plus flagrant est le mouvement. Nous ne voyons pas une voiture se déplacer en fessant des « bonds ». Le véhicule roule de façon fluide. Il paraît légitime d’inclure le continu dans notre vie de tous les jours.


La mathématique est une création de l’esprit humain, « une géométrie n’est pas plus vraie qu’une autre, elle est simplement plus commode ». Il existe un lien étrange, comme si la pensée humaine voulait créer un monde recréer se qu’il connaît. Or la mathématique pure est soit trop rigoureuse pour notre monde, même si l’inverse est possible. Ce qui est sur, et que c’est cette pensée humaine a permis la création de nouveau monde.


K-Lipschitzienne