Un survole

Espace qui est tu? Tu existes dans mon monde sous plusieurs formes. Quand j’étais plus jeune, ta forme la plus commode était ce cher espace euclidien. Qu’il était pratique, qu’il était utile, qu’il était simple, qu’il était présent. Présent dans le coeur d’un enfant curieux, la ligne droite était le chemin le plus court. Dans mon monde Euclien « par un point on ne peut faire passer qu’une parallèle à une droite donnée . » Mais on m’a caché des conditions. Cet axiome présuppose l’infinité de l’espace. Mais mon espace était mon île qui n’est pas infinie.

Parlons de cet infini, cette grandeur défiant toute imagination. Pourquoi devrons-nous l’accepter? Il existe très bien des mondes qui ne sont pas infinis, tout comme il existe « plusieurs » infinis. Prenons les nombres entiers de zéros à plus l’infini, et les nombres réels de zéros à un. Il existera comme une différence du nombre de nombre entre ces deux intervalles. On sent que l’intervalle des nombres réels est plus dense, ici la puissance du continu opère. La pensée de multiples infinis est récente. Les religions associées souvent l’infini à Dieu. Mais pour beaucoup de religion, Dieu est unique donc l’infini doit l’être aussi. Certains décrivent l’infini comme les paradis. David Hilbert dit ceci en parlant de l’infini: « Nul ne nous expulsera du paradis que Cantor a créée pour nous ». L’acceptation ne se fera que dans chacun d’entre nous, mais l’infini fait peur, la peur de l’inconnue, le voyage vers des contrées inconnues.

Cette espace qui n’est pas infinie, mon axiome n’est pas commode. Prenons un cercle, notre nouveau monde, plaçons un point dans le cercle et une droite de telle sorte que le point ne soit pas sur la droite. Nous pouvons faire passer une infinité de droite parallèle à notre droite d’origine par ce point de telle sorte que les droites se couperont à l’extérieur du cercle. Mais rappelons-nous que notre monde est dans le cercle, donc les droites se coupent dans un point qui n’existe pas. Déjà nous apprenons que nos axiomes sont plus ou moins commodes selon le contexte. Un axiome n’est pas plus vrai qu’un autre, il est simplement plus commode, en tout cas dans un monde mathématique.

« J’ai découvert des choses si belles que j’en ai été ébloui; il serait à jamais regrettable si elles étaient perdues. Lorsque vous les verrez, vous le reconnaîtrez aussi. En attendant, je ne puis ici dire autre chose que ceci: j’ai, du néant, tiré un nouvel univers » Jànos Bolyai


K-Lipschitzienne