La quête des fondamentaux.

Introduction

La logique signifie raison, langue et raisonnement. Elle est utilisée depuis l’antiquité, mais elle a subi une transformation radicale au 19e siècle. Depuis, elle est utilisée dans beaucoup de domaines tels que l’informatique. Dans ce texte, nous allons aborder une bande dessinée un peu spéciale. Logicomix est un roman graphique publié entre 2008-2010. Le créateur est Apóstolos Doxiàdis (aussi scénariste), le scénariste est Christos Papadimitriou, le dessinateur est Alecos Papadatos et la coloriste est Annie Di Donna. Le texte a été exporté dans plusieurs pays et traduit dans plusieurs langues. Il traite de l’histoire de la logique à travers certaines grandes figures de ce domaine. Dans ce texte, nous allons nous intéresser à la recherche de la vérité absolue.

Résumé de l’histoire.

Ce résumé est vraiment simplifié, Logicomix est une bande dessinée bien plus riche et complexe que ça. Je vous conseille d’aller voir un résumé plus complet si l’œuvre vous intéresse.

L’histoire commence avec Bertrand Russell donnant une « conférence » dans une université américaine au début de la Deuxième Guerre mondiale. Le titre de la conférence est la suivante : « Rôle de la logique dans les affaires humaines ». Cependant, des isolationnistes (c’est une politique qui vise à ne pas se préoccuper de la politique étrangère et dans notre cas, cela concerne la décision des USA d’entrer en guerre ou non) bloquèrent l’entrée de l’université. Les isolationnistes demandent à Russell de participer à leur cause. À cela, Russell leur propose de participer à la conférence en leur disant que celle-ci pourrait les aider à prendre un choix. Ainsi la conférence débuta, il commença à raconter sa vie de logisticien/philosophe. Il raconta comment il avait fait pour essayer de se rapprocher de la vérité absolue à l’aide de la logique. Il faut considérer plus cette conférence comme une fable ou une leçon de vie. Ainsi, on comprend comment Russell a voulu tout comme Leibniz trouver des réponses parfaitement exactes en utilisant la logique.

Personnage important

Dans cette partie, je présente brièvement certains personnages.

  • Leibniz est un philosophe, scientifique, mathématicien, logicien, diplomate, juriste, bibliothécaire et philologue allemand (1647-1716)
  • Bertrand Russell est un mathématicien, logicien, philosophe, épistémologue, homme politique et moraliste britannique (1872-1970).
  • Whitehead est un philosophe, logicien et mathématicien britannique (1861-1947)
  • Kurt Gödel est un logicien et mathématicien autrichien (1906-1978).
  • La quête de la vérité.

    Apport du livre

    Une utopie serait de mathématiser la pensée, ainsi c’était le rêve de Leibniz (*aussi un de mes anciens rêves*). En cas de désaccord, on aurait pu dire : « Très bien, calculons ». Ce rêve fut poursuivi par beaucoup d’autres, entre autres Russell. Donc, notre histoire nous amène à parler de Bertrand Russell.

    Tout jeune, comme nous ou les écoliers, Russell fit la rencontre avec les mathématiques. Cela bouleversa sa vie, car la puissance de la démonstration pouvait lui donner des réponses claires. Pour la première fois de sa vie, il était sur de l’exactitude de sa réponse. Comme il le disait : «  La géométrie m’a montré la seule voie d’accès à la réalité : la Raison. J’y ai fait pour la première fois la délicieuse expérience de savoir quelque chose avec certitude. »

    Ainsi, la démonstration mathématique est une preuve absolue pour le personnage. En effet, il est difficile, voire impossible, de réfuter une démonstration mathématique (à condition qu’il n’y ait pas d’erreur), car faire des mathématiques c’est avant tout démontrer ce que l’on affirme. Il ne suffit pas de voir qu’un cercle à l’air d’un cercle pour être sûr que ce soit un cercle. Il faut le démontrer, et pour cela il faut utiliser un raisonnement logique convainquant. Mais pour pouvoir démontrer une proposition, il faut bien partir d’une base. On appelle cette base les axiomes. Les axiomes sont des propositions que l’on accepte sans démonstration. Pour certain mathématicien, les axiomes sont la rencontre entre le monde de mathématique et le monde réel, d’autre vous dirons que cela ne changera rien. En tout cas, pour Bertrand Russell, les axiomes l’ont déçu, car il ne pouvait pas les démontrer et par conséquent ne pas être sur de leurs validités (je pense particulièrement au 5e axiome d’Euclide ). Selon lui, toute proposition devait être démontrée. En effet, il est impossible de démontrer des axiomes. Ainsi, les mathématiques lui ont donné une soif de savoir et l’envie de connaître la vérité de façon absolue. Dans ses études supérieures, il commença à remettre en cause les fondements des mathématiques. Il dit : « À Cambridge, personne ne parle des vrais problèmes mathématiques […] Du genre quelle est la nature de la vérité mathématique » p.88 , il rajouta que les « fondements pourris »p.90 devaient être modifiés. Une réorganisation des mathématiques était des plus urgentes, le manque de rigueur était comme un cancer qui tue un malade à petit feu.

    De ce fait, Russell voulut se tourner vers la philosophie pour pouvoir trouver une réponse à sa quête, mais là encore il fut déçu. Il remit en caus e la vérité philosophique. Tous les philosophes sont grands, mais en désaccord. Ainsi, pour Russell la vérité ne pouvait être une proposition et son contraire. C’est pour cela que le penseur pensait (*un penseur qui pense best phrase ever :)*) que la philosophie ne pouvait pas donner une réponse absolue. Puis tel un éclair dans la nuit, elle apparut, la logique.

    Après s’être initié à la logique, Russell proposa Whitehead d’écrire un livre sur les fondements mathématiques en utilisant cette dernière. Son nom Principia Mathematica. Le but de ce livre est de formaliser les mathématiques (*un travail de titan pour deux fourmis*) à l’aide de la logique. Les deux protagonistes cherchèrent à remettre en question les bases, encore et encore. Après 10 ans de remise en question et d’écriture naissait cette œuvre de 3 volumes. Par exemple, la démonstration de 1+1=2 fait 362 pages. Ainsi les Principia donneraient un élan à la logique moderne. Certains penseront qu’autant de rigueur est contre-productif alors pourquoi vouloir absolument utiliser la logique. Une des raisons est de dire que le langage est trop imprécis, il y aura toujours des mots qui seront indéfinissables (de façon formelle). C’est pour cela qu’il fallait un nouveau langage plus pur et plus simple (*pour les gens initiés *). Ainsi, pour Russell les mathématiques et la philosophie avaient failli, pour lui, la logique était la seule voie pour arriver à la vérité absolue. La logique permettra de se débarrasser de l’intuition qui pour certains n’ont pas leur place dans un raisonnement.

    La machine était lancée, des groupes de mathématiciens/philosophes ont travaillé pour que la logique triomphe. Ce mouvement engendré par Russell (*excusez moi je caricature l’histoire*) explosa en Europe. C’est en 1930 que David Hilbert, grand mathématicien de son temps, annonce à la radio « Nous devons savoir, nous saurons en opposition avec l’ignorabimus ». (qui signifie « Nous ne savons pas et ne saurons jamais »). Ainsi, Hilbert portant un espoir dans tous les cœurs, toute proposition pouvait être démontrée ou réfutée.

    Mais arriva Gödel, avec son théorème d’incomplétude, qui réduisit tout espoir à néant. Son théorème traite de la prouvabilité des propositions de l’arithmétique, il énonce « On peut démontrer rigoureusement que dans tout système formel consistant contenant une théorie des nombres finitaires relativement développée, il existe des propositions arithmétiques indécidables et que, de plus, la consistance d'un tel système ne saurait être démontrée à l'intérieur de ce système. » (*un peu compliqué*). Pour simplifier, Gödel nous dit que l’on peut choisir n’importe quel système en arithmétique, celui-ci sera incomplet ou incohérent. Approfondissons le mot incomplet. Un système incomplet est un système ou il existe des propositions qui ne peuvent être démontrés ou réfutés. Mais le théorème nous dit aussi que si l’on se situe dans ce système en question on ne pourra vérifier la consistance de ce système. Un théorème a été suffisant pour souffler sur l’intérêt de la quête de la vérité. Il y aura toujours des propositions qui seront indécidables.

    Une vie de recherche pour se rendre compte que l’on courait à travers une quête impossible. Cependant, les travaux de Bertrand Russell n’ont pas été inutiles, loin de là. Ainsi, la logique est un outil puissant, mais dans son domaine. La conclusion, de Russell à la conférence, est la suivante « Bon, peut-être est-il temps d’en revenir à une autre vieille triade : Responsabilité, Justice… voire un sentiment du Bien et du Mal. Tous ces concepts que mes amis viennois jugeaient « au-dessous de la dignité d’esprits sérieux » ".

    Apport personnel

    Je pense que la logique et le formalisme ont apporté et apporteront une contribution dans la recherche mathématique. En effet, elle a apporté des paradoxes et des monstres mathématiques (on peut citer la courbe de Weiestrass, une courbe qui est croissante et décroissante en chacun de ses points). Mais, elle a permis aussi de faire avancer certains domaines tels que l’analyse. Elle a rendu les mathématiques plus rigoureuses. Par exemple : elle nous a permis de formaliser le continu (au sens mathématique). La logique a certainement fait changer les esprits et fait réfléchir sur ce que devait être une preuve mathématique.

    Cependant, malgré cette volonté de voir la logique comme une machine parfaite. On pourrai lui donne un cochon et elle nous ressortira des saucisses, mais on en vint à oublier la place de l’intuition. Je m’explique, cela serait une erreur de penser qu’il suffise de donner des axiomes à la logique pour qu’elle nous sorte des théorèmes. De plus, si cela était possible, elle nous sortirait certainement une multitude de lois stériles. En effet, la logique ne nous dit pas si notre théorème est utile. Il n’est pas très dur de créer des relations qui ne nous séviront pas. Un théorème ou une loi est d’autant plus précieux qu’il est général. Ainsi, la logique nous permet de vérifier si notre théorie marche, mais pas de dire si elle est utile.

    C’est pour cela que je vois la logique comme un outil, un outil puissant qui permet de vérifier des assertions, mais elle ne pourra jamais nous dire comment trouver la vérité. Je vais prendre pour exemple le mot partage. Soit deux enfants, l’enfant A a 20 billes et l’enfant B a 10 billes. Ils décident de s’associer en mettant en commun leurs billes. Le temps des vacances arrive et il faut partager le total (gain + apport) les 40 billes obtenues. Ainsi, il y a plusieurs moyens de partage. Le premier moyen est de diviser les 40 billes en deux paquets. Donc l’enfant A reçoit 20 billes et l’enfant B reçoit 20 billes. Mais l’on peut procéder autrement. On peut juste partager les gains. Donc soit 10 billes à se partager. Ce qui nous fait 25 billes pour l’enfant A et 15 pour l’enfant B. Dans notre exemple, les mathématiques ne nous disent pas comment partager, elles nous servent d’outil. Elle permet de nous dire si les calculs ont été bien effectués. Or, il existe une infinité de façons de partager. D’ailleurs, la logique n’a pas été acceptée par le commun des mortels, car elle est compliquée à maîtriser. Peano voulut imposer la logique et son formalisme à ses étudiants dans ses cours de mathématique. Hélas, sans succès, les étudiants ont monté une mutinerie contre leur professeur (*peut-être faire de même dans certaines facs ;) *). C’est pour cela qu'il nous faut faire appel à l’intuition. Les notions humaines vont pouvoir nous éclairer sur la façon dont nos deux protagonistes veulent partager. Je ne dis pas qu’une façon est plus vraie qu’une autre, mais simplement plus commode pour les deux partis. « Wittgenstien pensait qu’avant d’être un logicien il « devait devenir un être humain »  . Et il fit sien le mot de Schopenhauer : rien de mieux pour s’humaniser que de côtoyer la mort ». Je suis de plus en plus convaincu que la mathématique est une invention purement humaine, et que lui enlever l’intuition c’est enlever une partie de l’humanité. C’est ainsi dire lui enlever une partie de son âme, de sa puissance et de sa beauté.

    Conclusion

    Pour conclure, Logicomix est un roman graphique fabuleux rempli de références et qui raconte l’histoire de la logique et la quête des fondamentaux de façon unique. Je suis un peu déçu de ne pas avoir pu représenter cette bande dessinée à ce qu’elle mérite. Bien sûr l’histoire ne s’arrête pas au théorème d’incomplétude de Gödel, elle a continué jusqu’à maintenant et continuera. Bon la conclusion est rapide, mais voilà c’est comme ça. Je remercie Anastasia pour sa pré lecture.


    K-Lipschitzienne

    Couverture de bande dessinée

    Couverture de bande dessinée